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z变换及其性质1 z变换定义及收敛域2 常用序列的z变换3 z变换性质3.1 线性、移序、反折3.2 z域尺度特性、微分3.3 时域卷积3.4 部分和3.5 初值定理和终值定理
4 逆z变换：幂级数和部分分式展开5 z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换及其性质
1 z变换定义及收敛域
拉氏变换把连续系统微分方程转换为代数方程，同样地，也可以通过一种称为
z
z
z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。
1 z变换导出
对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。
取样信号：
f
S
(
t
)
=
f
(
t
)
δ
T
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
f
(
k
T
)
δ
(
t
−
k
T
)
f_{S}(t)=f(t) \delta_{T}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k T) \delta(t-k T)
fS(t)=f(t)δT(t)=k=−∞∑∞f(kT)δ(t−kT)
两边取双边拉普拉斯变换，得：
F
S
b
(
s
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
f
(
k
T
)
e
−
k
T
s
F_{S b}(s)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k T) \mathrm{e}^{-k T s}
FSb(s)=k=−∞∑∞f(kT)e−kTs
令
z
=
e
s
T
z=e^{sT}
z=esT，上式将成为复变量
z
z
z的函数，用
F
(
z
)
F(z)
F(z)表示；
f
(
k
T
)
→
f
(
k
)
f(k T) \rightarrow f(k)
f(kT)→f(k)，得到：
F
(
z
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
f
(
k
)
z
−
k
F(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) z^{-k}
F(z)=k=−∞∑∞f(k)z−k
称为序列
f
(
k
)
f(k)
f(k)的双边z变换。
F
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
f
(
k
)
z
−
k
F(z)=\sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{-k}
F(z)=k=0∑∞f(k)z−k
称为序列
f
(
k
)
f(k)
f(k)的单边z变换
若
f
(
k
)
f(k)
f(k)为因果序列，则单边、双边z变换相等，否则不同。今后在不致混淆的情况下，统一称它们为z变换。
表示为：
F
(
z
)
=
Z
[
f
(
k
)
]
,
f
(
k
)
=
Z
−
1
[
F
(
z
)
]
F(z)=\mathscr{Z}[f(k)], f(k)=\mathscr{Z}^{-1}[F(z)]
F(z)=Z[f(k)],f(k)=Z−1[F(z)]
f
(
k
)
←
→
F
(
z
)
f(k) \leftarrow \rightarrow F(z)
f(k)←→F(z)
2 收敛域
当幂级数收敛时，z变换才存在，即满足绝对可和条件：
∑
k
=
−
∞
∞
∣
f
(
k
)
z
−
k
∣
<
∞
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left|f(k) z^{-k}\right|<\infty
k=−∞∑∞∣∣f(k)z−k∣∣<∞
它是序列
f
(
k
)
f(k)
f(k)的 z 变换存在的充分条件。
定义：收敛域
对于序列
f
(
k
)
f(k)
f(k)，满足
∑
k
=
−
∞
∞
∣
f
(
k
)
z
−
k
∣
<
∞
\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left|f(k) z^{-k}\right|<\infty
∑k=−∞∞∣∣f(k)z−k∣∣<∞的所有z值组成的集合称为其z变换
F
(
z
)
F(z)
F(z)的收敛域。
有限长序列：
δ
(
k
)
z
−
k
=
δ
(
k
)
⋅
1
\delta(k)z^{-k}=\delta(k)\cdot 1
δ(k)z−k=δ(k)⋅1
画出
ε
(
k
+
1
)
−
ε
(
k
−
2
)
\varepsilon(k+1)-\varepsilon(k-2)
ε(k+1)−ε(k−2)的图。
因果序列的
z
z
z变换收敛域在圆外：
等比数列求和公式：
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
1−qa1(1−qn) 例3中数列范围为(
0
∼
N
0\sim N
0∼N)
反因果序列的
z
z
z变换收敛域在圆内：
双边序列的
z
z
z变换收敛域为环形或不存在：
离散序列的收敛域情况分类：
序列特性收敛域特性有限长序列常为整个平面因果序列某个圆外区域反因果序列某个圆内区域双边序列(若存在)环状区域
注意：双边 z 变换必须标明收敛域！ 不同函数z变换相同，但收敛域可能不同，如：
f
1
(
k
)
=
2
k
ε
(
k
)
←
→
1
(
z
)
=
z
z
−
2
,
∣
z
∣
>
2
f_{1}(k)=2^{k} \varepsilon(k) \leftarrow \rightarrow_{1}(z)=\frac{z}{z-2},|z|>2
f1(k)=2kε(k)←→1(z)=z−2z,∣z∣>2
f
2
(
k
)
=
−
2
k
ε
(
−
k
−
1
)
←
→
F
2
(
z
)
=
z
z
−
2
,
∣
z
∣
<
2
f_{2}(k)=-2^{k} \varepsilon(-k-1) \leftarrow \rightarrow F_{2}(z)=\frac{z}{z-2},|z|<2
f2(k)=−2kε(−k−1)←→F2(z)=z−2z,∣z∣<2
对单边
z
z
z变换，其收敛域都是某个圆外的区域，所以收敛域可省略。
结论：
双边
F
b
(
z
)
+
收敛域
⟶
f
(
k
)
\text { 双边 } F_{b}(z)+\text { 收敛域 } \longrightarrow f(k)
双边 Fb(z)+ 收敛域 ⟶f(k)
单边
F
(
z
)
⟶
f
(
k
)
\text { 单边 } F(z)\longrightarrow f(k)
单边 F(z)⟶f(k)
2 常用序列的z变换
δ
(
k
)
←
→
1
,
整个z平面
\delta(k) \leftarrow \rightarrow 1, \quad \text { 整个z平面 }
δ(k)←→1, 整个z平面
f
1
(
k
)
=
a
k
ε
(
k
)
←
→
F
1
(
z
)
=
z
z
−
a
,
∣
z
∣
>
∣
a
∣
f_{1}(k)=a^{k} \varepsilon(k) \leftarrow \rightarrow F_{1}(z)=\frac{z}{z-a},|z|>|a|
f1(k)=akε(k)←→F1(z)=z−az,∣z∣>∣a∣
f
2
(
k
)
=
−
a
k
ε
(
−
k
−
1
)
←
→
F
2
(
z
)
=
z
z
−
a
,
∣
z
∣
<
∣
a
∣
f_{2}(k)=-a^{k} \varepsilon(-k-1) \leftarrow \rightarrow F_{2}(z)=\frac{z}{z-a},|z|<|a|
f2(k)=−akε(−k−1)←→F2(z)=z−az,∣z∣<∣a∣
δ
(
k
−
m
)
←
→
z
−
m
,
∣
z
∣
>
0
\delta(k-m) \leftarrow \rightarrow z^{-m}, \quad|z|>0
δ(k−m)←→z−m,∣z∣>0
ε
(
k
)
←
→
z
z
−
1
,
∣
z
∣
>
1
\varepsilon(k)\leftarrow \rightarrow\frac{z}{z-1},|z|\gt 1
ε(k)←→z−1z,∣z∣>1
ε
(
−
k
−
1
)
←
→
z
z
−
1
,
∣
z
∣
<
1
\varepsilon(-k-1)\leftarrow \rightarrow\frac{z}{z-1},|z|\lt1
ε(−k−1)←→z−1z,∣z∣<1
单边因果指数序列：
a
k
ε
(
k
)
←
→
z
z
−
a
,
∣
z
∣
>
∣
a
∣
a^k\varepsilon(k)\leftarrow \rightarrow\frac{z}{z-a},\quad |z|\gt |a|
akε(k)←→z−az,∣z∣>∣a∣
左边指数序列：
−
a
k
ε
(
−
k
−
1
)
←
→
z
z
−
a
,
∣
z
∣
<
∣
a
∣
-a^k\varepsilon(-k-1)\leftarrow \rightarrow\frac{z}{z-a},\quad |z|\lt |a|
−akε(−k−1)←→z−az,∣z∣<∣a∣
3 z变换性质
3.1 线性、移序、反折
说明：z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换均适用。
1、线性
f
1
(
k
)
↔
F
1
(
z
)
,
α
1
<
∣
z
∣
<
β
1
f_{1}(k) \leftrightarrow F_{1}(z), \quad \alpha_{1}<|z|<\beta_{1}
f1(k)↔F1(z),α1<∣z∣<β1
f
2
(
k
)
↔
F
2
(
z
)
,
α
2
<
∣
z
∣
<
β
2
f_{2}(k) \leftrightarrow F_{2}(z), \quad \alpha_{2}<|z|<\beta_{2}
f2(k)↔F2(z),α2<∣z∣<β2
a
1
f
1
(
k
)
+
a
2
f
2
(
k
)
↔
a
1
F
1
(
z
)
+
a
2
F
2
(
z
)
a
1
,
a
2
为任意常数
a_{1} f_{1}(k)+a_{2} f_{2}(k) \leftrightarrow a_{1} F_{1}(z)+a_{2} F_{2}(z) \quad \boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2} \text { 为任意常数 }
a1f1(k)+a2f2(k)↔a1F1(z)+a2F2(z)a1,a2 为任意常数
max
(
α
1
,
α
2
)
<
∣
z
∣
<
min
(
β
1
,
β
2
)
\max \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)<|z|<\min \left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)
max(α1,α2)<∣z∣ 注：其收敛域至少是 F 1 ( z ) F_1(z) F1(z)与 F 2 ( z ) F_2(z) F2(z)收敛域的相交部分。 2、移位（移序）特性 双边z变换的移位： 若 f ( k ) ← F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k) \leftarrow F(z), \alpha<|z|<\beta f(k)←F(z),α<∣z∣<β，则对整数 m > 0 m\gt 0 m>0： f ( k ± m ) ← → z ± m F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k \pm m) \leftarrow \rightarrow z^{\pm m} F(z), \quad \alpha<|z|<\beta f(k±m)←→z±mF(z),α<∣z∣<β 单边z变换的移位： f ( k − m ) ← → z − m F ( z ) + ∑ k = 0 m − 1 f ( k − m ) z − k f(k-m) \leftarrow \rightarrow z^{-m} F(z)+\sum_{k=0}^{m-1} f(k-m) z^{-k} f(k−m)←→z−mF(z)+k=0∑m−1f(k−m)z−k 右移，原来在负轴的部分移位到正轴，所以需要加 ∑ k = 0 m − 1 f ( k − m ) z − k \sum_{k=0}^{m-1} f(k-m) z^{-k} ∑k=0m−1f(k−m)z−k f ( k + m ) ← → z m F ( z ) − ∑ k = 0 m − 1 f ( k ) z m − k f(k+m) \leftarrow \rightarrow z^{m} F(z)-\sum_{k=0}^{m-1} f(k) z^{m-k} f(k+m)←→zmF(z)−k=0∑m−1f(k)zm−k 左移，原来在正轴的部分移位到负轴，所以需要减 ∑ k = 0 m − 1 f ( k ) z m − k \sum_{k=0}^{m-1} f(k) z^{m-k} ∑k=0m−1f(k)zm−k 特例：若 f ( k ) f(k) f(k)为因果序列（负轴信号值为0），则 f ( k − m ) ← → z − m F ( z ) f(k-m) \leftarrow \rightarrow z^{-m} F(z) f(k−m)←→z−mF(z) 即： f ( k − m ) ε ( k − m ) ← → z − m F ( z ) f(k-m) \varepsilon(k-m) \leftarrow \rightarrow z^{-m} F(z) f(k−m)ε(k−m)←→z−mF(z) 3、 k k k域反转(仅适用双边z变换） 设 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k) \leftrightarrow F(z), \quad \alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β 则 f ( − k ) ↔ F ( z − 1 ) , 1 β < ∣ z ∣ < 1 α f(-k) \leftrightarrow F\left(z^{-1}\right), \quad \frac{1}{\beta}<|z|<\frac{1}{\alpha} f(−k)↔F(z−1),β1<∣z∣<α1 3.2 z域尺度特性、微分 1、z域尺度变换：序列乘 a k , a ≠ 0 a^k,a\not=0 ak,a=0 设 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k) \leftrightarrow F(z), \quad \alpha<|z \mid<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β，且有常数 a a a,则 a k f ( k ) ↔ F ( z a ) , ∣ a ∣ α < ∣ z ∣ < ∣ a ∣ β a^{k} f(k) \leftrightarrow F\left(\frac{z}{a}\right),|a| \alpha<|z|<|a| \beta akf(k)↔F(az),∣a∣α<∣z∣<∣a∣β 2、序列乘 k k k（z域微分） 设 f ( k ) ↔ F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k) \leftrightarrow F(z), \quad \alpha<|z|<\beta f(k)↔F(z),α<∣z∣<β 则 k f ( k ) ↔ ( − z ) d d z F ( z ) k f(k) \leftrightarrow(-z) \frac{d}{d z} F(z) kf(k)↔(−z)dzdF(z) k 2 f ( k ) ↔ ( − z ) d d z [ ( − z ) d d z F ( z ) ] k^{2} f(k) \leftrightarrow(-z) \frac{d}{d z}\left[(-z) \frac{d}{d z} F(z)\right] k2f(k)↔(−z)dzd[(−z)dzdF(z)] k m f ( k ) ↔ ( − z ) d d z ( ⋯ ( − z ) d d z ( ( − z ) d d z F ( z ) ) ⋯ ) ⏟ m 次 , α < ∣ z ∣ < β k^{m} f(k) \leftrightarrow \underbrace{(-z) \frac{d}{d z}\left(\cdots(-z) \frac{d}{d z}\left((-z) \frac{d}{d z} F(z)\right) \cdots\right)}_{m \text { 次 }}, \quad \alpha<|z|<\beta kmf(k)↔m 次 (−z)dzd(⋯(−z)dzd((−z)dzdF(z))⋯),α<∣z∣<β e j β e^{j\beta} ejβ看作一个整体， e − j β e^{-j\beta} e−jβ也看作一个整体。 因为是单边z变换： ( k + 1 ) ε ( k + 1 ) = ( k + 1 ) ε ( k ) (k+1) \varepsilon(k+1)=(k+1) \varepsilon(k) (k+1)ε(k+1)=(k+1)ε(k) 3.3 时域卷积 设： f 1 ( k ) ↔ F 1 ( z ) , α 1 < ∣ z ∣ < β 1 f_{1}(k) \leftrightarrow F_{1}(z), \quad \alpha_{1}<|z|<\beta_{1} f1(k)↔F1(z),α1<∣z∣<β1 f 2 ( k ) ↔ F 2 ( z ) , α 2 < ∣ z ∣ < β 2 f_{2}(k) \leftrightarrow F_{2}(z), \quad \alpha_{2}<|z|<\beta_{2} f2(k)↔F2(z),α2<∣z∣<β2 则 f 1 ( k ) ∗ f 2 ( k ) ↔ F 1 ( z ) ⋅ F 2 ( z ) , max ( α 1 , α 2 ) < z ∣ < min ( β 1 , β 2 ) f_{1}(k) * f_{2}(k) \leftrightarrow F_{1}(z) \cdot F_{2}(z), \max \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) f1(k)∗f2(k)↔F1(z)⋅F2(z),max(α1,α2) 说明： (1) 收敛域一般为 F 1 ( z ) F_1(z) F1(z)与 F 2 ( z ) F_2(z) F2(z)收敛域的相交部分； (2) 对单边z变换，要求： f 1 ( k ) f_1(k) f1(k)、 f 2 ( k ) f_2(k) f2(k)为因果序列 画图，可知 k ε ( k − 1 ) = k ε ( k ) k\varepsilon(k-1)=k\varepsilon(k) kε(k−1)=kε(k) 3.4 部分和 若 f ( k ) ← → F ( z ) , α < ∣ z ∣ < β f(k) \leftarrow \rightarrow F(z), \alpha<|z|<\beta f(k)←→F(z),α<∣z∣<β ∑ i = − ∞ k f ( i ) ← → z z − 1 F ( z ) , max ( α , 1 ) < ∣ z ∣ < β \sum_{i=-\infty}^{k} f(i) \leftarrow \rightarrow \frac{z}{z-1} F(z), \max (\alpha, 1)<|z|<\beta i=−∞∑kf(i)←→z−1zF(z),max(α,1)<∣z∣<β 证明：时域卷积对应频域乘积 f ( k ) ∗ ε ( k ) = ∑ i = − ∞ ∞ f ( i ) ε ( k − i ) = ∑ i = − ∞ k f ( i ) ⟷ z z − 1 F ( z ) f(k)^{*} \varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i) \varepsilon(k-i)=\sum_{i=-\infty}^{k} f(i) \longleftrightarrow \frac{z}{z-1} F(z) f(k)∗ε(k)=i=−∞∑∞f(i)ε(k−i)=i=−∞∑kf(i)⟷z−1zF(z) 3.5 初值定理和终值定理 初值定理适用于右边序列，即适用于 k < M k\lt M k M M M为整数)时 f ( k ) = 0 f(k)=0 f(k)=0的序列。由象函数直接求序列的初值 f ( M ) f(M) f(M), f ( M + 1 ) f(M+1) f(M+1), … 而不必求得原序列。 1、初值定理： 如果序列在 k < M k k f ( k ) = 0 , f ( k ) ← → F ( z ) , α < ∣ z ∣ < ∞ f(k)=0, \quad f(k) \leftarrow \rightarrow F(z), \quad \alpha<|z|<\infty f(k)=0,f(k)←→F(z),α<∣z∣<∞ 则序列的初值 f ( M ) = lim z → ∞ z M F ( z ) f(M)=\lim _{z \rightarrow \infty} z^{M} F(z) f(M)=z→∞limzMF(z) 对因果序列 f ( k ) f(k) f(k)， M = 0 M=0 M=0 f ( 0 ) = lim z → ∞ F ( z ) f(0)=\lim _{z \rightarrow \infty} F(z) f(0)=z→∞limF(z) 证明： 两边乘 z M z^M zM，得 z M F ( z ) = f ( M ) + f ( M + 1 ) z − 1 + f ( M + 2 ) z − 2 + … z^{M} F(z)=f(M)+f(M+1) z^{-1}+f(M+2) z^{-2}+\ldots zMF(z)=f(M)+f(M+1)z−1+f(M+2)z−2+… 上式取 z → ∞ z→∞ z→∞，得 f ( M ) = lim z → ∞ z M F ( z ) f(M)=\lim _{z \rightarrow \infty} z^{M} F(z) f(M)=z→∞limzMF(z) 2、终值定理： 如果序列存在终值，即： f ( ∞ ) = lim k → ∞ f ( k ) f(\infty)=\lim _{k \rightarrow \infty} f(k) f(∞)=k→∞limf(k) 则序列的终值 f ( ∞ ) = lim z → 1 z − 1 z F ( z ) = lim z → 1 ( z − 1 ) F ( z ) f(\infty)=\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z)=\lim _{z \rightarrow 1}(z-1) F(z) f(∞)=z→1limzz−1F(z)=z→1lim(z−1)F(z) 注意：收敛域要求含单位圆。 4 逆z变换：幂级数和部分分式展开 F ( z ) F(z) F(z)的逆z变换 f ( k ) = 1 2 π j ∮ c F ( z ) z k − 1 d z , − ∞ < k < ∞ f(k)=\frac{1}{2 \pi j} \oint_{c} F(z) z^{k-1} d z, \quad-\infty f(k)=2πj1∮cF(z)zk−1dz,−∞ z 逆变换的计算方法： （1）反演积分法（留数法）； （2）幂级数展开法；(有局限性) （3）部分分式展开法； （4）用 z z z 变换性质求逆 z z z 变换。(组合使用) 一般而言，双边序列 f ( k ) f(k) f(k)可分解为因果序列 f 1 ( k ) f_1(k) f1(k)和反因果序列 f 2 ( k ) f_2(k) f2(k)两部分，即 f ( k ) = f 2 ( k ) + f 1 ( k ) = f ( k ) ε ( − k − 1 ) + f ( k ) ε ( k ) f(k)=f_{2}(k)+f_{1}(k)=f(k) \varepsilon(-k-1)+f(k) \varepsilon(k) f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)ε(−k−1)+f(k)ε(k) 其中 F 1 ( z ) = Z [ f ( k ) ε ( k ) ] = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) z − k , ∣ z ∣ > α F_{1}(z)=Z[f(k) \varepsilon(k)]=\sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{-k}, \quad|z|>\alpha F1(z)=Z[f(k)ε(k)]=k=0∑∞f(k)z−k,∣z∣>α F 2 ( z ) = Z [ f ( k ) ε ( − k − 1 ) ] = ∑ k = − ∞ − 1 f ( k ) z − k , ∣ z ∣ < β F_{2}(z)=Z[f(k) \varepsilon(-k-1)]=\sum_{k=-\infty}^{-1} f(k) z^{-k}, \quad|z|<\beta F2(z)=Z[f(k)ε(−k−1)]=k=−∞∑−1f(k)z−k,∣z∣<β 已知象函数 F ( z ) F(z) F(z)时，根据给定的收敛域不难由 F ( z ) F(z) F(z)分解为 F 1 ( z ) F_1(z) F1(z)和 F 2 ( z ) F_2(z) F2(z)，分别求对应的原序列 f 1 ( k ) f_1(k) f1(k)和 f 2 ( k ) f_2(k) f2(k)，根据线性性质，将两者相加原序列 f ( k ) f(k) f(k) 1、幂级数展开法 根据 z z z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是 z − 1 z^{-1} z−1和 z z z的幂级数; 其系数就是相应的序列值。 2、部分分式展开法 F ( z ) = B ( z ) A ( z ) = b m z m + b m − 1 z m − 1 + … . + b 1 z + b 0 z n + a n − 1 z n − 1 + … . + a 1 z + a 0 , m ≤ n F(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_{m} z^{m}+b_{m-1} z^{m-1}+\ldots .+b_{1} z+b_{0}}{z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots .+a_{1} z+a_{0}}, m \leq n F(z)=A(z)B(z)=zn+an−1zn−1+….+a1z+a0bmzm+bm−1zm−1+….+b1z+b0,m≤n (1) F ( z ) F(z) F(z)均为单极点，且不为0 F ( z ) z = K 0 z + K 1 z − z 1 + … . + K n z − z n \frac{F(z)}{z}=\frac{K_{0}}{z}+\frac{K_{1}}{z-z_{1}}+\ldots .+\frac{K_{n}}{z-z_{n}} zF(z)=zK0+z−z1K1+….+z−znKn F ( z ) z \frac{F(z)}{z} zF(z)除以 z z z原因： z z − a ↔ a k ε ( k ) \frac{z}{z-a}\leftrightarrow a^k\varepsilon(k) z−az↔akε(k) 而部分分式展开得到的分式上没有 z z z 其中 K i = ( z − z i ) F ( z ) z ∣ z = z i K_{i}=\left.\left(z-z_{i}\right) \frac{F(z)}{z}\right|_{z=z_{i}} Ki=(z−zi)zF(z)∣∣∣∣z=zi 所以： F ( z ) = K 0 + ∑ i = 1 n K i z z − z i F(z)=K_{0}+\sum_{i=1}^{n} \frac{K_{i} z}{z-z_{i}} F(z)=K0+i=1∑nz−ziKiz 根据收敛域，将上式划分为 F 1 ( z ) ( ∣ z ∣ > α ) F_{1}(z)(|z|>\alpha) F1(z)(∣z∣>α)和 F 2 ( z ) ( ∣ z ∣ < β ) F_{2}(z)(|z|<\beta) F2(z)(∣z∣<β)，由如下已知变换对，来求原函数。 δ ( k ) ← → 1 \delta(k) \leftarrow \rightarrow 1 δ(k)←→1 a k ε ( k ) ← → z z − a , ∣ z ∣ > ∣ a ∣ a^{k} \varepsilon(k) \leftarrow \rightarrow \frac{z}{z-a},|z|>|a| akε(k)←→z−az,∣z∣>∣a∣ − a k ε ( − k − 1 ) ← → z z − a , ∣ z ∣ < ∣ a ∣ -a^{k} \varepsilon(-k-1) \leftarrow \rightarrow \frac{z}{z-a},|z|<|a| −akε(−k−1)←→z−az,∣z∣<∣a∣ 如果是单边的，则只考虑(1) 收敛域在你的外侧，就是因果信号，内测则是非因果信号。 （3） F ( z ) F(z) F(z)有重极点 F ( z ) F(z) F(z)展开式中含 z ( z − a ) r \frac{z}{(z-a)^{r}} (z−a)rz项( r > 1 r\gt 1 r>1)，则逆变换为： 若 ∣ z ∣ > a |z|\gt a ∣z∣>a ，对应原序列为因果序列： k ( k − 1 ) … . . ( k − r + 2 ) ( r − 1 ) ! a k − r + 1 ε ( k ) \frac{k(k-1) \ldots . .(k-r+2)}{(r-1) !} a^{k-r+1} \varepsilon(k) (r−1)!k(k−1)…..(k−r+2)ak−r+1ε(k) 以 ∣ z ∣ > a |z|\gt a ∣z∣>a为例： 推导记忆： Z [ a k ε ( k ) ] = z z − a \mathscr{Z}\mathscr{[ a ^ { k } \varepsilon ( k ) ]}=\frac{z}{z-a} Z[akε(k)]=z−az 两边对 a a a求导得: Z [ k a k − 1 ε ( k ) ] = z ( z − a ) 2 \mathscr{Z}\mathscr{[ k a ^ { k - 1 } \varepsilon ( k ) ]}=\frac{z}{(z-a)^{2}} Z[kak−1ε(k)]=(z−a)2z 再对 a a a求导得 Z [ k ( k − 1 ) a k − 2 ε ( k ) ] = 2 z ( z − a ) 3 \mathscr{Z}\left[k(k-1) a^{k-2} \varepsilon(k)\right]=\frac{2 z}{(z-a)^{3}} Z[k(k−1)ak−2ε(k)]=(z−a)32z Z [ 1 2 k ( k − 1 ) a k − 2 ε ( k ) ] = z ( z − a ) 3 \mathscr{Z}\left[\frac{1}{2} k(k-1) a^{k-2} \varepsilon(k)\right]=\frac{z}{(z-a)^{3}} Z[21k(k−1)ak−2ε(k)]=(z−a)3z 3、用性质求逆z变换 5 z变换与拉普拉斯变换的关系 1、Z平面与S平面的映射关系 z = e s T s = 1 T ln z z=e^{sT} \quad s=\frac{1}{T}\ln z z=esTs=T1lnz 式中 T T T是序列的时间间隔，重复频率 ω s = 2 π T \omega_{s}=\frac{2 \pi}{T} ωs=T2π 为了说明s与z的映射关系，将s表示成直角坐标形式，而把 z 表示成极坐标形式，即 s = σ + j ω z = r e j θ s=\sigma+j \omega \quad z=r e^{j \theta} s=σ+jωz=rejθ z = r e j θ = e ( σ + j ω ) T = e σ T e j ω T z=r e^{j \theta}=e^{(\sigma+j \omega) T}=e^{\sigma T} e^{j \omega T} z=rejθ=e(σ+jω)T=eσTejωT 于是，得到 r = e σ T = e 2 π σ ω s θ = ω T = 2 π ω ω S r=e^{\sigma T}=e^{\frac{2 \pi \sigma}{\omega_{s}}} \quad \theta=\omega T=2 \pi \frac{\omega}{\omega_{S}} r=eσT=eωs2πσθ=ωT=2πωSω 上式表明s平面与z平面有如下的映射关系： (1) s平面上的虚轴( σ = 0 ， ω = ω ， s = j ω σ=0，ω=ω，s=jω σ=0，ω=ω，s=jω)映射到z平面是单位圆 r = 1 r=1 r=1，其右半平面 σ > 0 σ>0 σ>0映射到 z平面的单位圆外 r > 1 r>1 r>1，而左半平面映射到 z平面的单位圆内 r < 1 r<1 r<1。 s = σ + j ω z = r e j θ s=\sigma+j \omega \quad z=r e^{j \theta} s=σ+jωz=rejθ (2) s平面的实轴( σ = σ ， ω = 0 ， s = σ σ=σ，ω=0，s=σ σ=σ，ω=0，s=σ) 映射到z平面的正实轴；原点（ σ = 0 ， ω = 0 ， s = 0 σ=0，ω=0，s=0 σ=0，ω=0，s=0）映射到z平面的正实轴上一点( r = 1 , θ = 0 r=1,θ=0 r=1,θ=0) 。 (3) 由于 e j θ e^{jθ} ejθ 是以 ω s ω_s ωs为周期的周期函数，因此在s平面沿虚轴移动对应于z平面上沿单位圆周期旋转，每平移 ω s ωs ωs，则沿单位圆转一圈。所以 s ∼ z s\sim z s∼z映射并不是单值的 2、s变换与z变换的转换公式 z z z变换的定义式是通过理想取样信号的拉普拉斯变换引出的，由此，离散序列的 z z z变换和理想取样信号的拉普拉斯变换之间具有如下关系： F ( z ) ∣ z = e s T = F s ( s ) \left.F(z)\right|_{z=e^{s T}}=F_{s}(s) F(z)∣z=esT=Fs(s) （ F s ( s ) F_{s}(s) Fs(s)下标 s s s表示采样信号的拉普拉斯变换。） 表明: z变换式中令 z = e s T z=e^{sT} z=esT，则变换式就成为相应的理想取样信号的拉普拉斯变换。 如果进一步地，令拉普拉斯变换中的变量 s = j ω s=jω s=jω，则 F ( z ) ∣ z = e j ω T = F s ( j ω ) \left.F(z)\right|_{z=e^{j \omega T}}=F_{s}(j \omega) F(z)∣z=ejωT=Fs(jω) 上式变为与序列相对应的理想取样信号的傅里叶变换。 讨论：若连续信号 f ( t ) f(t) f(t)由 N N N项指数信号相加而成(单极点)： f ( t ) = f 1 ( t ) + f 2 ( t ) + … + f N ( t ) = ∑ i = 1 N f i ( t ) = ∑ i = 1 N A i e p i t ε ( t ) f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+\ldots+f_{N}(t)=\sum_{i=1}^{N} f_{i}(t)=\sum_{i=1}^{N} A_{i} e^{p_{i} t} \varepsilon(t) f(t)=f1(t)+f2(t)+…+fN(t)=i=1∑Nfi(t)=i=1∑NAiepitε(t) 容易求得，其拉普拉斯变换为： F ( s ) = ∑ i = 1 N A i s − p i F(s)=\sum_{i=1}^{N} \frac{A_{i}}{s-p_{i}} F(s)=i=1∑Ns−piAi 对应的采样离散序列 f ( k ) f(k) f(k)由 N N N项指数序列相加而成 它的z变换为 F ( z ) = ∑ i = 1 N A i z z − e p i T F(z)=\sum_{i=1}^{N} \frac{A_{i} z}{z-e^{p_{i} T}} F(z)=i=1∑Nz−epiTAiz F ( s ) = ∑ i = 1 N A i s − p i F(s)=\sum_{i=1}^{N} \frac{A_{i}}{s-p_{i}} F(s)=i=1∑Ns−piAi F ( z ) = ∑ i = 1 N A i z z − e p i T F(z)=\sum_{i=1}^{N} \frac{A_{i} z}{z-e^{p_{i} T}} F(z)=i=1∑Nz−epiTAiz 结论：如果 F ( s ) F(s) F(s)有 N N N个单极点 p i p_i pi，则相应的z变换即为 F ( z ) F(z) F(z)。 中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟